下の動画をfacebookに投稿したところ、多くのコメントを頂きました。コメントの中にどのようにして動画を作るのかという質問がありましたので、それに答えて、内容を説明していきます。
着想の経緯
多角形の形状を加工する工作機械があります。下に参考の動画を掲載します。
上のような加工において、どのような原理で多角形が得られるのかが解説された情報が無かったので、エクセルで数値計算を試みることにしました。
数値計算は非常にシンプルで、いわゆる、遊星運動と考えることができます。
考えているうちに、適当な数値を入力すると、面白い図形が得られることに気づきました。
そこで、本来の数値計算から離れて、エクセルで数値計算した結果を動画にすると面白いという発想に至りました。
使用した仕組み
- エクセル → 数値計算結果を2次元平面状にプロットしてグラフ化するために必要です。
- エクセルのマクロ → 一定時間ごとにグラフ描画を更新するプログラムを作ることができます。
- Xbox Game Bar → Windowsに標準搭載されている機能で、画面を動画にして記録することができます。
使い方については、以下のURLを参考文献として載せておきます。
数式
ポリゴンマシンで言うところの、被削材の回転中心を原点として、被削材と同様に回転するXY平面の座標系を考えます。すると、そのXY平面の座標系に対して、カッターバイトの位置は次のように表されます。
図のように半径\(R_1\)の円周上を角速度\(\omega_1\)で移動する点\(P_1\)を考えると、時刻tにおける位置は、原点からのベクトルとして\(\overrightarrow{OP_1}(t) = (R_1 cos(\omega_1 t),R_1 sin(\omega_1 t))\)と表されます。
更に、\(P_1 (t)\)を中心として、半径\(R_2\)の円周上を角速度\(\omega_2\)で移動する点\(P_2\)を考えると、時刻tにおける位置は、\(P_1 (t)\)からのベクトルとして\(\overrightarrow{P_1 P_2}(t) = (R_2 cos(\omega_2 t),R_2 sin(\omega_2 t))\)と表されます。
このことから\(P_2 (t)\)の位置は以下のように書けます。
\(P_2(t)=\overrightarrow{OP_1}(t)+\overrightarrow{P_1 P_2}(t) = (R_1 cos(\omega_1 t) + R_2 cos(\omega_2 t),R_1 sin(\omega_1 t)+R_2 sin(\omega_2 t))\)
すなわち、2次元平面において、ある中心点を公転しながら自転運動する円盤の1点の運動と等しくなります。